ЕГЭ по информатике выбирают будущие работники ИТ-сферы. Но для сдачи экзамена нужно не только уметь программировать. Многие задачи связаны с математикой, анализом данных, логикой. Чтобы без проблем решить их на экзамене, необходимо много практиковаться. Вы можете учиться самостоятельно, а можете записаться на курсы подготовки к ЕГЭ и ОГЭ, где преподаватели будут объяснять все сложные моменты. В статье мы разберем тему «Логические выражения». Она встречается в 23 номере ЕГЭ по информатике.
Алгебра логики
Прежде чем приступить к разбору заданий, нужно изучить теорию. Алгеброй логики называют один из разделов математической логики. Его особенность в том, что логические выражения анализируются с использованием алгебраических законов и правил. Создание науки связано с именем Дж. Буля (1815-1864). Ученый разработал собственный математический язык, записывал с его помощью уравнений. Истинность и ложность выражений доказывал с помощью алгебраических операций. Несмотря на то, что алгебра логики продолжает развиваться, принцип остается прежним.
Основой алгебры логики (и 23 задания ЕГЭ) являются логические высказывания — не вопросительные предложения, по поводу которых можно однозначно сказать, являются они истинными или ложными. Например, высказывание «снег белый» истинно, «солнце светит ночью» — ложно. Предложение «мороженое вкусное» не является логическим высказыванием, нельзя однозначно сказать о его правдивости. Если заменить его на «я люблю мороженое», то оно может принимать как истинное, так и ложное значение, это зависит от предпочтений человека.
В 23 задании по информатике встречаются двузначные высказывания, принимающие значения «правда» и «неправда». Но алгебра логики рассматривает также многозначные, имеющие значения «вероятно», «невозможно», «возможно». Элементарные высказывания обозначают латинскими буквами (например, A = «осенью деревья сбрасывают листву»). Сложные высказывания составляются из элементарных с использованием частиц «и», «или», «тогда и только тогда», «если.. то» (например, А и В = «осенью деревья сбрасывают листву и некоторые птицы улетают на юг»). В цифровом представлении истине соответствует число 1, а лжи число 0. Для вычисления примеров обычно используются таблицы истинности.
Основные операции алгебры логики
Для решения номера 23 по информатике нужно знать основные операции:
- инверсия (отрицание). Операция называется унарной, так как преобразует одну величину: «переворачивает» выражение, меняет истину на ложь и наоборот. Обозначается чертой над буквой, символом ᆨ, словом «not». В результате преобразования числа A получается высказывание ᆨA. Читается «не А», «отрицание А», «А ложно». Пример: A = 1 больше 0; Ā = 1 не больше 0. На рисунке А — множество точек, Ā — все точки, не принадлежащие множеству;
- конъюнкция (умножение). Обозначает величины (2 или больше), объединенные союзом И. Для математической записи используются знаки ∧, •, &, and. Иногда знак опускают, по аналогии с математикой. Высказывание истинно, когда все его части правдивы, например, A∧B = «химия изучает вещества и молекулы». На рисунке изображается множествами, их пересечение соответствует A∧B;
- дизъюнкция (сложение). Связывает 2 и более выражения союзом ИЛИ. Обозначается знаками ∨, +, |, or. Выражение истинно, если правдива одна часть или сразу обе. Пример: А∨В = «звезды состоят из газа или плазмы». На рисунке изображается объединением множеств;
- строго-разделительная (исключающая) дизъюнкция. Связывает высказывания союзом ИЛИ. Особенность в том, что союз является исключающим, то есть выражение истинно, когда правдива одна из его частей. Обозначают через ∨∨, ⊕, а читают «либо А, либо В». Пример: А⊕В = «валентность серы II или IV»;
- импликация. Соединяет выражения, указывающие на причину и следствие. Обозначается ⟶, ⊃, читается «из А следует В», «если А, то В», «А влечет В». Пример является ложью, когда причина правдива, а следствие — неправда. Пример: А⟶В = «если число делится только на себя и на 1, то оно сложное».
- эквивалентность. Операция объединяет высказывания связками ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, РАВНОСИЛЬНО, НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО. Обозначается ~, ↔️, читается «А эквивалентно В». Выражение истинно, когда обе части одинаковы. Например: А~В = «число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра 0 или 5». Эквивалентность противоположна строго-разделительной дизъюнкции.
На самом деле, для решения номеров достаточно трех операций: сложения, умножения, отрицания. Строго-разделительную дизъюнкцию можно представить как (ᆨА∧B)∧(А∧ᆨВ), импликацию — ᆨА∨B, эквивалентность (ᆨA∧ᆨB)∨(A∧B). Порядок выполнения действий при вычислении:
- инверсия;
- конъюнкция;
- дизъюнкция;
- остальные.
Примеры решения задач
Переходим к разбору 23 задания по информатике. Решим несколько задач.
Задача 1. Вычислите логическое значение: (ᆨ(15 < 3))∧(10 > 20).
Решение: Составим таблицу.
Ответ: ложь.
Задача 2. Запишите высказывание с помощью логических операций, определите его значение: «если часы неправильно показывают время, то вы не успеете на занятия».
Решение: Пусть «часы неправильно показывают время» = А, «успеете на занятия» = В, а «не успеете на занятия» = ᆨВ. Логическое выражение: А⟶ᆨВ. Из причины сделал верный вывод, поэтому выражение является истинным.
Ответ: истина.
Задача 3. Определить значение ((х > 10) ∨ (х < 15)) → (х < 5) для 1) x = 9 и 2) х = 4.
Решение: Для х = 9: ((9 > 10) ∨ (9 < 15)) → (9 < 5) = ложь ∨ истина → ложь = истина → ложь = ложь.
Для х = 4: ((4 > 10) ∨ (4 < 15)) → (4 < 5) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина.
Ответ: 1) ложь; 2) истина.
Мы изучили основную теорию алгебры логики и разобрались, как решать 23 номер в ЕГЭ. Эта тема очень важна, поэтому не забывайте ее и постоянно практикуйтесь, чтобы подготовиться к экзамену лучше. Желаем вам легких вариантов и высоких баллов!