ЕГЭ по профильной математике включает решение уравнений и неравенств. Они встречаются во второй части, требующей развернутого ответа. На уроках школьников учат классическим приемам выполнения заданий, однако существует достаточно много нестандартных. Разбираем некоторые, учимся выполнять примеры.
Рационализация
Суть: с помощью некоторых преобразований пример приводится к рациональному виду. Возможно, данный способ рассказывали учителя: в последние годы он становится более популярным. Для решения уравнений и неравенств используются так называемые формулы рационализации:
Алгоритм выполнения задания:
- Ищем область допустимых значений.
- Приводим выражение к стандартному виду.
- Упрощаем с помощью формул рационализации.
- Решаем полученное после упрощения.
- Записываем ответ.
Разберем метод на примере.
Задание: logx(2-x)4<8
Сначала определяем область допустимых значений. Получаем: х > 0, х ≠ 1, х ≠ 2.
Запишем правую часть в виде логарифма с основанием x, перенесем его в левую часть:
logx(2-x)4-8logxx<0
Применяем формулу 1 из таблицы, получаем:
(x-1)(2-x-x)<0
Имеем:
x>0 и 2-x-x=(a-b)(a+b)
Упрощаем снова, используя формулу 9 из таблицы:
(x-1)(2-x-x)(2-x+x)<0
(x-1)(2-2x)2<0
(x-1)(4-4x)<0
Делим выражение на два отдельных, решаем каждое.
x-1<0
x<1
4-4x<0
x>1
Строим числовую прямую с тремя точками: 0, 1, 2 (не забываем: точки из ОДЗ включаются). Расставляем знаки. Находим интервалы, в которых: x < 0.
Ответ: x ∈ (0;1)∪(1;2)∪(2;+∞)
Учет ОДЗ
Этот метод решения уравнений и неравенств позволяет значительно сэкономить время на экзамене, а часто — еще и избавиться от громоздких выражений. Он показывает, имеются ли у примера корни. Иногда получается найти ответ, подставляя числа из области допустимых значений. Алгоритм очень простой:
Находим область допустимых значений.
Подставляем число из области допустимых значений в выражение. Этим проверяем, является ли оно корнем.
Записываем ответ.
Решим простую задачу.
Задание: 3-x=log5(x-3)
Ищем область допустимых значений.
3-x>0
x<3
x-3>0
x>3
Получается, что «x» принадлежит пустому множеству. Корней нет.
Ответ: нет корней.
Другие методы
На самом деле, нестандартных методов решения уравнений и неравенств очень много. Внимания заслуживают:
- прием мажорантов. Основан на том, что многие функции ограничены. Найдя точку ограниченности, можно упростить выполнение задания;
- использование монотонности функции. Функцию, лежащую в основе примера, проверяют на монотонность. По ее «характеру» определяют, сколько корней у уравнения;
- использование графиков. Выражение визуализируют. Используют точки пересечения, находят корни графически;
- угадывание корня. В некоторых примерах о корне можно догадаться, внимательно изучив внешний вид выражения.
Теперь вы знаете несколько методов решения уравнений и неравенств. Используйте информацию, чтобы быстрее выполнять задания на итоговом экзамене. Хотите разобрать и другие номера? Записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ «Уникум» при Российском университете дружбы народов. Вы сможете продуктивно учиться в мини-группах (или обычных, зависит от желания) в ведущем российском вузе. Очные занятия в университете сразу «погрузят» вас в студенческую атмосферу, а онлайн-занятия позволят подготавливаться самостоятельно из дома. Мы уверены, вы сможете подобрать для себя удобный формат обучения.
