Блог

Отбор корней в тригонометрическом уравнении из ЕГЭ по математике
04.09.2021
02:42

Отбор корней в тригонометрическом уравнении из ЕГЭ по математике

Одно из заданий второй части ЕГЭ по математике — решение тригонометрических уравнений с корнем. Основная его сложность в том, что нужно уметь не только упрощать выражения и находить ответ, но и проводить отбор корней. Как это сделать, мы разберем в статье. 

Что такое тригонометрическое уравнение

Тригонометрическое уравнение содержит в себе функцию синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Решение без отбора корней происходит по следующим формулам: 

  • sinx = a при |a| ≤ 1 → x = (-1)narcsina + πn;

  • cosx = a при |a| ≤ 1 → x = ± arccosa + 2πn;

  • tgx = b при b — любое число → x = arctgb + πn;

  • сtgx = b при b — любое число → x = arcсtgb + πn.

Многие корни тригонометрических уравнений имеют конечные значения. Например, при sinx = -1 ответ следующий: x = π/2 + 2πn. Полная таблица достаточно большая, поэтому ее мы приводить тут не будем. 

Отбор 

Прежде чем изучить методы отбора корней, решим один несложный пример. 

Задание. 

а) Решите cos2x - 3cosx + 2 = 0

б) Найдите все ответы, принадлежащие отрезку -4; -52

 

Решение. 

Первое слагаемое распишем по формуле косинуса двойного угла: 

2cos2x - 1 - 3cosx + 2 = 0

 

Приведем однородные слагаемые: 

2cos2x - 3cosx + 1 = 0

 

Произведем замену: 

Пусть cosx = t, где |t| ≤ 1

 

Получаем: 

2t2 - 3t + 1 = 0

 

Находим дискриминант: 

D = (-3)2 - 4 • 2 • 1 = 9 - 8 = 1

 

Решаем:

x1=3+122=44=1

x2=3-122=24=12

 

Возвращаемся к исходной переменной и получаем: 

cosx = 1 → x = 2πn, n ∈ Z

 

cosx = ½ → x = ± π/3 + 2πk, k ∈ Z

Области допустимых значений нет, поэтому оба значения используем при решении пункта «б».

Теперь проведем отбор корней разными способами.

Арифметический

Для решения нужно перебирать все значения целочисленного параметра и считать корни. Разберем на примере cosx = 1.

Решение. x = 2πn

При n = -1 получаем x = 2 • (-1)π = -2π = -4π/2. Это больше, чем -5π/2, следовательно, ответ: не принадлежит отрезку.

При n = -2 получаем x = 2 • (-2)π = -4π. Число принадлежит отрезку.

При n = -3 получаем x = 2 • (-3)π = -6π. Это меньше, чем -4π, следовательно, значение не принадлежит отрезку. 

Далее то же самое нужно сделать с остальными корнями. Тогда вы получите ответ. 

Алгебраический

Чтобы отобрать корни, нужно решить неравенства относительно известного целочисленного параметра. Рассмотрим на примере первого значения. 

Решение. -4π ≤ 2πn ≤ -5π/2

Делим все части неравенства на «2π»: 

-2 ≤ n ≤ -5/4

Согласно условию, n ∈ Z. Рассматриваем только ответ n = -2. Получаем x = -4π.

Геометрический

Рисуем единичную окружность, наносим на нее числа из области и корни. После определяем, попадают ли они в промежуток. Отсчет промежутка происходит против часовой стрелки!

По рисунку видно, что в указанный промежуток попадает два корня. Первый: -4π. Второй нужно посчитать. Для этого к «-4π» мы прибавляем «π/3». Получаем: -11π/3. 

Функционально-графический

Для решения нарисуем функцию косинуса на области от y = -1 до y = 0,5. Зная значения промежутка, найдем абсциссы точек пересечения на заданном отрезке. 

Как видно по рисунку, у нас получаются те же корни, что и в предыдущем методе. 

Теперь вы знаете основные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях. Это поможет вам правильно решать задания из второй части. Дома вам сложно практиковаться, не хватает помощи учителя? Тогда записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ в центре «Уникум» при Российском университете дружбы народов. Центр предлагает не только полезные уроки с экспертами ЕГЭ, но и доступ к учебному порталу. На нем вы сможете делать домашние задания, решать пробные варианты экзамена и изучать полезные материалы. Форматы курсов разные  — очный и дистанционный. 

Содержание данной статьи носит ознакомительный характер. Для подготовки к сдаче ЕГЭ пользуйтесь дополнительными источниками информации!

Все мероприятия

07.10.2021
00:32
Решаем задания по статике
В статье разберем законы статики, приведем основные формулы
Читать далее
07.10.2021
00:22
«Наука» в ЕГЭ по обществознанию
В статье мы разберем тему «Наука» в ЕГЭ по обществознанию
Читать далее
07.10.2021
00:17
Выполнение задач из номера 18 ЕГЭ по математике
Задачи с параметром — сложная тема ЕГЭ
Читать далее
07.10.2021
00:05
Готовимся к ЕГЭ по обществознанию
Обществознание — предмет, который выбирают большинство школьников
Читать далее
06.10.2021
23:58
Образец выполнения 4 задания устной части ЕГЭ по английскому
Недавно вышли новые демоверсии экзаменов
Читать далее
04.09.2021
03:01
Тема «Административное право» в ЕГЭ по обществознанию
У многих школьников он вызывает вопросы, так как задания довольно сложные
Читать далее