Одно из заданий второй части ЕГЭ по математике — решение тригонометрических уравнений с корнем. Основная его сложность в том, что нужно уметь не только упрощать выражения и находить ответ, но и проводить отбор корней. Как это сделать, мы разберем в статье.
Что такое тригонометрическое уравнение
Тригонометрическое уравнение содержит в себе функцию синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Решение без отбора корней происходит по следующим формулам:
-
sinx = a при |a| ≤ 1 → x = (-1)narcsina + πn;
-
cosx = a при |a| ≤ 1 → x = ± arccosa + 2πn;
-
tgx = b при b — любое число → x = arctgb + πn;
-
сtgx = b при b — любое число → x = arcсtgb + πn.
Многие корни тригонометрических уравнений имеют конечные значения. Например, при sinx = -1 ответ следующий: x = π/2 + 2πn. Полная таблица достаточно большая, поэтому ее мы приводить тут не будем.
Отбор
Прежде чем изучить методы отбора корней, решим один несложный пример.
Задание.
а) Решите cos2x - 3cosx + 2 = 0
б) Найдите все ответы, принадлежащие отрезку -4; -52
Решение.
Первое слагаемое распишем по формуле косинуса двойного угла:
2cos2x - 1 - 3cosx + 2 = 0
Приведем однородные слагаемые:
2cos2x - 3cosx + 1 = 0
Произведем замену:
Пусть cosx = t, где |t| ≤ 1
Получаем:
2t2 - 3t + 1 = 0
Находим дискриминант:
D = (-3)2 - 4 • 2 • 1 = 9 - 8 = 1
Решаем:
x1=3+122=44=1
x2=3-122=24=12
Возвращаемся к исходной переменной и получаем:
cosx = 1 → x = 2πn, n ∈ Z
cosx = ½ → x = ± π/3 + 2πk, k ∈ Z
Области допустимых значений нет, поэтому оба значения используем при решении пункта «б».
Теперь проведем отбор корней разными способами.
Арифметический
Для решения нужно перебирать все значения целочисленного параметра и считать корни. Разберем на примере cosx = 1.
Решение. x = 2πn
При n = -1 получаем x = 2 • (-1)π = -2π = -4π/2. Это больше, чем -5π/2, следовательно, ответ: не принадлежит отрезку.
При n = -2 получаем x = 2 • (-2)π = -4π. Число принадлежит отрезку.
При n = -3 получаем x = 2 • (-3)π = -6π. Это меньше, чем -4π, следовательно, значение не принадлежит отрезку.
Далее то же самое нужно сделать с остальными корнями. Тогда вы получите ответ.
Алгебраический
Чтобы отобрать корни, нужно решить неравенства относительно известного целочисленного параметра. Рассмотрим на примере первого значения.
Решение. -4π ≤ 2πn ≤ -5π/2
Делим все части неравенства на «2π»:
-2 ≤ n ≤ -5/4
Согласно условию, n ∈ Z. Рассматриваем только ответ n = -2. Получаем x = -4π.
Геометрический
Рисуем единичную окружность, наносим на нее числа из области и корни. После определяем, попадают ли они в промежуток. Отсчет промежутка происходит против часовой стрелки!
По рисунку видно, что в указанный промежуток попадает два корня. Первый: -4π. Второй нужно посчитать. Для этого к «-4π» мы прибавляем «π/3». Получаем: -11π/3.
Функционально-графический
Для решения нарисуем функцию косинуса на области от y = -1 до y = 0,5. Зная значения промежутка, найдем абсциссы точек пересечения на заданном отрезке.
Как видно по рисунку, у нас получаются те же корни, что и в предыдущем методе.
Теперь вы знаете основные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях. Это поможет вам правильно решать задания из второй части. Дома вам сложно практиковаться, не хватает помощи учителя? Тогда записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ в центре «Уникум» при Российском университете дружбы народов. Центр предлагает не только полезные уроки с экспертами ЕГЭ, но и доступ к учебному порталу. На нем вы сможете делать домашние задания, решать пробные варианты экзамена и изучать полезные материалы. Форматы курсов разные — очный и дистанционный.
Содержание данной статьи носит ознакомительный характер. Для подготовки к сдаче ЕГЭ пользуйтесь дополнительными источниками информации!
