Задачи с параметром — сложная тема ЕГЭ. Относится к высокому уровню сложности, подразумевает нахождение неизвестного в заданном уравнении. Обычно школьная математика данную тему пропускает: раздел не включен в учебную программу. Но знать ее для получения высоких баллов нужно. Статья расскажет о решении.
Теоретическая часть
Решение задач начнем с теории. Представим пример вида: f(x;a) = 0, где требуется отыскать пары (x;a), обращающие пример в верное равенство. Получаем выражение с двумя переменными, являющимися равнозначными. Существует другая задача. Представим: “a” — фиксированное число. Уравнение становится выражением с одной переменной. Ответ зависит от показателя “а”. Он принимается за произвольное действительное число, f(x;a) = 0 называют заданием с параметром, как на ЕГЭ по математике.
Сложность в следующем: от “а” зависит получаемый ответ. Например, один вариант не дает корней, второй дает бесконечное множество. Параметр определяет формулы, применяемые при выполнении задания. Рассмотрим пример задачи с параметром:
ах2 - 3ах - 4 = 0
При а = 0,получаем: 0х2 - 0х - 4 = 0, ответов нет
При а = 1, находим 2 корня: -1 и 4
При а = -1, получается 2 корня: -4 и 1
При а = - 16/9 корень один, равен 1,5
Решая пример, имеем дело с семейством уравнений, получаем краткую запись семейства. Для нахождения отдельных примеров требуется заменить “а” на конкретное число. Задача с параметром формулируется следующим образом: требуется решить семейство, получающееся из f(x;a) = 0 при любых действительных числах. Конечно, выделить отдельные выражения семейства непросто. Но задание требует выполнения уравнений. Оптимальный вариант — разбить множество примеров на подмножества по определенному признаку. Например, множество действительных чисел, множество значений. Решаем на подмножествах. Разбивая множество на подмножества, полезно пользоваться числами параметра, при переходе через которые происходит качественное изменение признаков, ответа. Эти значения обычно называют контрольными. Задача школьника, решающего задание — найти контрольные значения. Типы задач:
- на нахождение корня при заданном, любом значении параметра либо параметра, принадлежащего определенному множеству. Это базовый тип;
- на определение количества решений в зависимости от параметра. Обычно при выполнении номеров не нужно решать уравнение, приводить ответ — это причина лишних затрат ресурсов. Однако в редких случаях требуется полное решение;
- на нахождение вариантов параметра, приводящих к заданному числу решений. Задача, обратная предыдущему типу;
- на поиск ответов, удовлетворяющих заданным условиям. Условия бывают разными, например, выполнение уравнения для любого значения переменной из данного промежутка.
Решение задач проводят следующими способами:
- аналитический. Прямая задача, требующая повторять шаги решения простых примеров. Наиболее сложный способ, требует глубокого понимания темы и своих действий;
- графический. Отталкиваясь от условия, требуется построить графики уравнений в координатной плоскости Оху или Оха;
- решение относительно параметра. Переменные принимаются за равноправные, проводится решение относительно одной из переменных. Выбирается более простой вариант. После упрощения требуется вернуться к изначальному значению переменных, записать ответ. В данной статье способ не разбираем.
Графический метод
Проведем решение задачи графическим методом.
Задание 1. Найдите все “а”, приводящие к получению 2 корней в уравнении:
Получаем ответ, когда числитель равен нулю, а знаменатель — не равен нулю. Записываем отдельные выражения (раскрываем модуль), решаем их:
Получаем систему координат Оха, в которой располагаются лучи с началом в точке (0;-2). Получаем, что при параметре больше “-2” есть 2 корня, при: a = -2 корень один, при “a < -2” корней нет.
Уравнение, расположенное в знаменателе, задает параболу. Решим пример, нарисуем график.
Таким образом, числитель обращается в нуль при: a = -1, 0, 3, 8
Ответ: a∊(2;1); (1;0); (0;3); (3;8); (8;+∞).
Аналитический метод
Задание 2. Найдите все значения “а”, при которых система содержит ровно четыре корня.
x4 + y2 = a2
x2 + y = |a + 1|
Систему уравнений заменяем на другую:
Система содержит четыре решения, когда уравнение: 2x4 - 2|a + 1|x2 + 2a + 1 = 0 включает четыре различных корня. Для выполнения условия необходимо наличие положительных корней выражения: 2t2 - 2|a + 1|t + 2a + 1 = 0. Требуется положительный дискриминант, положительный свободный член, отрицательный второй коэффициент. Запишем систему, найдем ответ.
Ответ: a∊(-0,5; 1 - √2); (1 + √2; +∞).
Мы разобрали примеры 18 задания ЕГЭ по математике с решениями. Материал поможет при подготовке к экзамену, даст необходимую базу для самостоятельного решения задач. Хотите заниматься под руководством опытного преподавателя — записывайтесь на курсы центра «Уникум» Российского университета дружбы народов. Их преимущества:
- уроки с экспертами ЕГЭ;
- возможность выбрать очный или дистанционный формат;
- круглосуточный доступ к учебному порталу с полезными материалами и тестами.
Содержание данной статьи носит ознакомительный характер. Для подготовки к сдаче ЕГЭ пользуйтесь дополнительными источниками информации!
