Задачи по теории вероятности в профильном ЕГЭ по математике

Тема «Теория вероятностей» встречается в номере 10 ЕГЭ. Изучая данный раздел, школьные учителя ограничиваются базовым уровнем, однако задачи экзамена ежегодно усложняются. В статье объясним теорию и способы решения простейших заданий. 

Основной теоретический материал

Задачи на вероятности основаны на алгебре событий. Данная наука изучает испытания — действия, результат которых не известен заранее. Часто встречаются эксперименты, проводящиеся с определенным набором условий. Результат опыта называется случайным событием. Приведем пример. Опыт — «бросок кубика», случайное событие — «выпадение цифры 6». Совокупность возможных исходов называют пространством элементарных событий (обозначается буквой Ω — «омега»). 

Теория вероятности определяет шанс возникновения некоторого исхода. В школьной программе изучаются сумма, произведение событий. Суммой считается событие А⋃В, заключающееся в наступлении А или В. Произведение А⋂В — одновременное наступление обоих исходов. События бывают: 

• противоположными (сумма равна «омега», произведение невозможно);
• несовместимыми (произведение невозможно);
• совместными (возможно их одновременное наступление);
• независимыми (шанс появления одного исхода не меняет шанс появления другого);
• зависимыми (возникновение одного исхода влияет на остальные).

Существует понятие «полная группа» — наступление минимум одного исхода из нескольких указанных. Задачи на вероятности ЕГЭ связаны со сложением и умножением. Сложение: 

• несовместных: Р(А+В) = Р(А) + Р(В);
• совместных: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ);
• противоположных, полной группы: Р = 1. 

Умножение: 

• независимых: Р(А•В) = Р(А) • Р(В);
• зависимых: Р(А•В) = Р(А) • Р_А(В) = Р(В) • Р_В(А). Запомните важную формулу: РА(В) = Р(АВ) / Р(А), второй показатель рассчитывается аналогично.

Пример

Попробуем решить несложную задачу по теории вероятности ЕГЭ. 

Задание. В ящике лежат фломастеры: три красных, три синих. Мальчик достает их по одному в случайном порядке. Определите вероятность того, что синий окажется третьим по счету. 

Решение. Необходимый исход — появление красного фломастера, затем красного и синего. Он образуется тремя отдельными событиями, требуется умножение. Напомним: вероятность определяется по формуле: Р = количество возможных исходов / общее количество. 

Рассчитаем параметр события: сначала мальчик достанет красный фломастер. Числитель содержит число «3» — именно столько красных маркеров в ящике на данный момент. Знаменатель — число «6» (общее количество). Получаем: Р(А₁) = 3/6. 

Сделаем расчеты остальных событий, определим общее значение: Р = 3/6 • 2/5 • 3/4 = 3/20. 

Ответ: бланки ЕГЭ принимают десятичные дроби, переводим: 3/20 = 0,15. 

Мы рассказали, как решать задачи по теории вероятностей. Конечно, материал статьи базовый. Изучить более сложные моменты помогут подготовительные курсы, например, занятия центра «Уникум» Российского университета дружбы народов. Уроки включают: 

• изучение теории; 
• решение практических задач;
• самостоятельное закрепление знаний на собственном учебном портале Unikum.

Готовьтесь к ЕГЭ в центре «Уникум»! 

Материал данной статьи носит ознакомительный характер. Для подготовки к сдаче ЕГЭ пользуйтесь дополнительными источниками информации!