Задание №17 – это задание (с 13-19) из 2-й части ЕГЭ по профильной математике. Ответ дается в развернутом виде с полной записью решения и обоснованием, оценивается в 3 балла. 2 часть ЕГЭ профиля математики содержит 19 заданий базового, повышенного и высокого уровня сложности. Так вот, задание 17 относится к повышенному уровню сложности и без серьезной подготовки решить сложно.
Условия задачи даются в довольно специфичном виде, не все данные представлены явно. Поэтому важно наработать навыки интерпретации условий задачи, идентификации исходных данных, определения искомой величины и возможных схем решения. Помочь в этом вам смогут курсы подготовки «Уникум» РУДН по математике. На курсах вы вспомните теорию и практику, получите разбор всех типов заданий и пробных вариантов ЕГЭ по профильной математике.
Теория
Задание №17 - это текстовые задачи на знание финансовой математики и экономического содержания. Данные задачи можно разделить на несколько типов:
-
на проценты, кредиты, вклады и различные их вариации
-
на использование экономических моделей (производство, объемы выпускаемой продукции, протяженные во времени, и др.)
В свою очередь задачи на кредиты делятся на 2 типа:
1 тип. Кредиты с равными платежами («аннуитет»).
2 тип. Кредиты с дифференцированными платежами.
Выбор схемы решения задач на кредиты зависит от типа задачи. Поэтому первое, что нужно сделать – это определить ее тип.
При 1 типе задачи схема погашения кредита приводится к виду геометрической прогрессии. После чего применяется формула суммы геометрической прогрессии.
При 2 типе схема платежей по кредиту приводится к виду арифметической прогрессии. После чего применяется формула суммы арифметической прогрессии.
Необходимые знания
Необходимые знания при решении задачи 17:
-
проценты
-
арифметическая прогрессия
-
геометрическая прогрессия
-
степенная функция
-
логарифмическая функция
-
логарифмические уравнения и неравенства
-
показательная функция
-
показательные уравнения и неравенства
-
системы уравнений
Формулы
При решении задачи №17 чаще всего используются следующие формулы:
1.Расчеты с процентами:
Х% от величины а: а*х/100;
-
а увеличилась на х%: а*(1+х/100);
-
а увеличилась на х% n раз: а*(1+х/100)n;
-
а увеличилась на х%, затем уменьшилась на у%: a*(1+х/100) *(1-y/100).
2.Наращенная сумма при начислении простых %: S = а*(1+n*х/100);
3.Наращенная сумма при начислении сложных %: S = а*(1+х/100)n,
где а – первоначальная сумма, х – % ставка, n- количество периодов начисления %.
4.Формулы суммы членов арифметической и геометрической прогрессии:
- сумма 1-х n членов арифметической прогрессии, где a1 – 1-й член, an- n-й член, d – шаг.
- сумма 1-х n членов геометрической прогрессии, где b1 – 1-й член, q – знаменатель.
Практика
Разберем 3 задачи.
Пример 1. В августе 2019 года был взят кредит на следующих условиях:
- в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с декабрем предыдущего года;
- долг выплачивается 1 платежом в год с апреля по сентябрь;
- кредит был погашен 3 равными платежами за 3 года и общая сумма выплат оказалась на 78 030 рублей больше суммы взятой в кредит. Определить сумму кредита.
Решение:
Обозначим: х – сумма кредита
а – ежегодный платеж
Схема выплат по кредиту:
((Х*1,3-а) *1,3-а) *1,3-а = 0, т. к. после всех выплат кредит погашен
1,33 Х-1,32а-1,3а-а = 0 ═> 1,33 Х-а*(1,32+1,3+1)=2,197Х-а*3,99 = 0
Т. к. было 3 равных платежа: а = (78 030+х)/3 = 26 010+х/3
2,197х-(26 010+х/3) *3,99 = 0
2,197х = (26 010+х/3) *3,99
2,197х/3,99 = 26 010+х/3
2,197х/3,99 – х/3 = 26 010
(2,197х-1,33х)/3,99 = 26 010
0,867х/3,99 = 26 010
0,289х/1,33 = 26 010
Х = 119 700
Ответ: 119 700
Пример 2. Антон и Аня одновременно положили в банк равные суммы под 12%. Через год после начисления % Антон внес на свой счет 10 000 руб., а еще через год после начисления % снял с него 10 000 руб. Аня через год после начисления % сняла 10 000 руб., а еще через год также после начисления % внесла на счет 10 000 руб. У кого на счету через три года со времени первоначального вложения окажется большая сумма и на сколько рублей?
Решение:
Обозначим х первоначальную сумму на каждом вкладе
Суммы на счетах через 3 года:
У Антона:
((х*1,12+10 000) *1,12-10 000) *1,12 = 1,123х+1 344
У Ани:
((х*1,12-10 000) *1,12+10 000) *1,12 = 1,123х-1 344
Из большей суммы вычтем меньшую:
1,123х+1 344 – (1,123х -1 344) = 1 688 руб. – Антон получит на эту сумму больше.
Ответ: у Антона на 1688 руб. больше.
Пример 3. В 2016 году среднемесячный доход на душу населения в регионе А составлял 25 600 руб. и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе Б среднемесячный доход на душу населения в 2016 году составлял 36 450 руб. Суммарный доход населения региона Б последующие 3 года ежегодно увеличивался на 16%, а численность населения увеличивалась на n% ежегодно. В 2019 году среднемесячный доход на душу населения в регионах А и Б сравнялся. Найти n.
Решение:
Нужно обратить внимание на то, что для региона А и Б темпы роста даны для разных величин – для А – для среднедушевого дохода, для Б – для общего дохода населения, численность которого росла на протяжение 3 лет.
Определим среднемесячный доход на душу населения (Д) для каждого из регионов в 2019 году:
ДА= 25 600*1,25*1,25*1,25 = 25 600*1,253
ДА= 25 600*1,25*1,25*1,25 = 25 600*1,253
ДБ= 36 450*1,16*1,16*1,16/(1+n/100) *(1+n/100) *(1+n/100) =36 450*1,163/(1+n/100)3
- делим на темпы роста численности населения потому, что для региона Б рост дан для суммарного дохода населения, а величина Д рассчитывается на душу населения.
в 2019 году Д регионов сравнялись:
25 600*1,253=36 450*1,163/(1+n/100)3═> (1+n/100)3=36 450*1,163/25 600*1,253 =729*1,163/512*1,253 = 9*1,163/8*1,253 =(9*1,16)3/(8*1,25)3= (10,44/10)3═> 1+n/100=10,44/10 = 1,044
n = (1,044-1) *100 = 4,4
Ответ: 4,4
Как видите, решение задач по финансовой математике связано с большим количеством вычислений, которые в итоге сводятся к решению уравнений или системы уравнений. Важно внимательно читать условия, правильно определить тип задачи и схему решения.
Как правило, ответ в задаче должен получиться «красивым», т. е. в виде либо целого числа, либо в виде конечной десятичной дроби. Если ответ получился «некрасивым», это повод внимательно перепроверить решение. При вычислениях часто удобнее иметь дело не десятичными, а с простыми дробями, внимательно проводить сокращение. Полезно повторить таблицу возведения чисел во 2 и 3 степени, что поможет сэкономить время на решение. Вспомните действия со степенями.
И чем больше вариантов заданий №17 ЕГЭ по профильной математике вы решите, тем лучше будете ориентироваться в схемах решений, т.к. все задания сводятся к небольшому количеству типовых вариантов.
Подготовительные курсы ЕГЭ по математике «Уникум» РУДН дают такую возможность. Под руководством преподавателя курсов, вы получите подробный разбор вариантов экзаменационных работ и закрепите навыки их решения.
